РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6159 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число N, такое, что десятичная запись числа N × 999 состоит из одних семерок (знак «×» означает умножение чисел).

Спрятать решение

Решение.

Замети, что $N \times 999=77 \ldots 7,$ тогда N кратно 7, обозначим $n= дробь: числитель: N, знаменатель: 7 конец дроби .$ Получим

$999 n=1000 n минус n=11 \ldots 1,$

значит, $1000 n минус 111 \ldots 1=n.$ Запишем в виде вычитания столбиком и будем повторять найденные цифры N со сдвигом на 3 влево

*******000

1 111 111 111

------------------

******889

****889 000

1 111 111 111

------------------

***777 889

777 889 000

111 111 111

------------------

6 667 778 889.

Заметим, что далее цифры повторяются по 3, получаем

$n=111 222 333 444 555 666 777 889.$

Значит,

$N=7 n=778 556 334 111 889 667 445 223.$

Ответ: 778 556 334 111 889 667 445 223.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Для проверяющих: альтернативный ход решения — взять число 111...1 и начать его делить в столбик на 999, пока не разделится нацело. Думаю, можно не снижать балл, если в самом конце число n неправильно умножили на 7.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь