РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6168 Добавить в вариант

Найдите количество натуральных чисел n, не превышающих 500, для которых уравнение $x в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка =n$ имеет решение. Здесь [x]  — наибольшее целое число, не превосходящее x.

Спрятать решение

Решение.

Если [x]  =  0, то решение: $0 меньше или равно x меньше 1$ и n  =  1. Для $x больше или равно 1$ уравнение $x в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка =n$ имеет решение при таких n, при которых $левая квадратная скобка x правая квадратная скобка в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка меньше или равно n меньше левая квадратная скобка x плюс 1 правая квадратная скобка в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка x правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Тогда:

— если [x]  =  1, то n  =  1 (x  =  1);

— если [x]  =  2, то

$n=4 левая круглая скобка x=2 правая круглая скобка ;$ $n=5 левая круглая скобка x= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка ;$ $n=6 левая круглая скобка x= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка ;$ $n=7\ левая круглая скобка x= корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента правая круглая скобка ;$ $n=8 левая круглая скобка x= корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка ;$

— если [x]  =  3, то:

$n=27 левая круглая скобка x=3 правая круглая скобка ;$ $n=28 левая круглая скобка x= корень 3 степени из: начало аргумента: 28 конец аргумента правая круглая скобка ;$ $\ldots,$ $n=63 левая круглая скобка x= корень 3 степени из: начало аргумента: 63 конец аргумента правая круглая скобка ;$

— если [x]  =  4, то:

$n=256 левая круглая скобка x=4 правая круглая скобка ;$ $n=257 левая круглая скобка x= корень 4 степени из: начало аргумента: 257 конец аргумента правая круглая скобка ;$ $\ldots,$ $n=500 \ левая круглая скобка x= корень 4 степени из: начало аргумента: 500 конец аргумента правая круглая скобка ;$

— если $x больше или равно 5,$ то решение невозможно, так как $5 в степени 5 =3125 больше 500.$

Итого получаем:

$n=1, 4, 5, 6, 7, 8, 27, 28, \ldots, 62, 63, 256, 257, \ldots, 500.$

Всего 288 чисел.

Ответ: 288.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Алгебра: числа. Целая и дробная части

Спрятать решение · Помощь