По усло­вию по­лу­ча­ем, что номер ком­на­ты Не­знай­ки k и номер ком­на­ты Знай­ки n удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­нию После за­ме­ны это со­от­но­ше­ние сво­дит­ся к виду:

По­стро­е­ние всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний урав­не­ния ос­но­ва­но на сле­ду­ю­щих эле­мен­тар­ных со­об­ра­же­ни­ях:

1.  Если (x₁, y₁), (x₂, y₂)  — два раз­лич­ных ре­ше­ния и x₁ < x₂, то y₁ < y₂. Тем самым, на мно­же­стве всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний (x, y) урав­не­ния можно вве­сти есте­ствен­ное упо­ря­до­че­ние:

2.  Пары (1, 1) и (5, 7) яв­ля­ют­ся пер­вым и вто­рым ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния (т. е. между этими ре­ше­ни­я­ми дру­гих ре­ше­ний нет).

3.  Если (x, y)  — ре­ше­ние, то пара   — тоже ре­ше­ние (при­чем боль­шее (x, y)). От­ме­тим, что и пары (1, 1), (5, 7) на­чи­на­ют воз­рас­та­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность пар ре­ше­ний урав­не­ния.

4.  Между па­ра­ми ре­ше­ний (x, y) и f (x, y) в этой це­поч­ке нет дру­гих ре­ше­ний урав­не­ния.

Пусть такое ре­ше­ние все-таки есть, тогда При­ме­ним ко всем ча­стям этого со­от­но­ше­ния отоб­ра­же­ние g, об­рат­ное к Вы­пол­ним такое пре­об­ра­зо­ва­ние столь­ко раз, чтобы вме­сто (x, y) по­лу­чи­лась пара а вме­сто f (x, y)  — пара Но тогда по­лу­чит­ся, что между па­ра­ми (1, 1) и (5, 7) есть еще одно ре­ше­ние урав­не­ния  — по­лу­чи­лось про­ти­во­ре­чие.

Вывод. Ре­кур­рент­ная по­сле­до­ва­тель­ность пар

ис­чер­пы­ва­ет мно­же­ство всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний урав­не­ния. На­хо­дим не­сколь­ко пер­вых пар этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

Оче­вид­но, что толь­ко пара x₅  =  985 и y₅  =  1393 (и со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния k  =  492, n  =  696) удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: 696.