РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6187 Добавить в вариант

Пусть x₁, x₂  — корни уравнения $x в квадрате минус x минус 4=0.$ Найдите $левая круглая скобка x в степени 5 _1 минус 20x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в степени 4 _2 плюс 16 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Если x  — один из корней уравнения, то $x в квадрате =x плюс 4.$ Возводя в квадрат, получим $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =x в квадрате плюс 8 x плюс 16=9 x плюс 20.$ Умножив на x, получим $x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =9 x в квадрате плюс 20 x=29 x плюс 36.$ Подставляя вместо x корни уравнения, получим:

$левая круглая скобка x_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 16 правая круглая скобка умножить на = левая круглая скобка 29 x_1 плюс 36 минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 9 x_1 плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =81 x_1 x_2 плюс 144 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс 256.$ $левая круглая скобка x_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 16 правая круглая скобка умножить на =$
$= левая круглая скобка 29 x_1 плюс 36 минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 9 x_1 плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =81 x_1 x_2 плюс 144 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс 256.$ $левая круглая скобка x_1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 16 правая круглая скобка умножить на =$
$= левая круглая скобка 29 x_1 плюс 36 минус 20 x_1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 9 x_1 плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 x_2 плюс 16 правая круглая скобка =$
$=81 x_1 x_2 плюс 144 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс 256.$

По теореме Виета $x_1 x_2= минус 4$ и $x_1 плюс x_2=1.$ Подставив, получим $81 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс 144 плюс 256=76.$

Ответ: 76.

Аналоги к заданию № 6179: 6187 Все

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь