РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6240 Добавить в вариант

Найдите все значения a? при каждом из который уравнение

$16 в степени x минус 6 умножить на 8 в степени x плюс 8 умножить на 4 в степени x плюс левая круглая скобка 2 минус 2a правая круглая скобка 2 в степени x минус a в квадрате плюс 2a минус 1=0$

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Замена $2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =t больше 0 .$ Уравнение

$t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 6 t в кубе плюс 8 t в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка t минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0$

квадратное относительно

$левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка : левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 t левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка минус t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 6 t в кубе минус 8 t в квадрате =0.$

Поскольку

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =t в квадрате плюс t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 6 t в кубе плюс 8 t в квадрате =t в квадрате левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате ,$

то

$совокупность выражений a минус 1= минус t плюс t в квадрате минус 3 t=t в квадрате минус 4 t, a минус 1= минус t минус t в квадрате плюс 3 t= минус t в квадрате плюс 2 t. конец совокупности .$

То есть задача равносильна нахождению условий, при которых система

$система выражений совокупность выражений t в квадрате минус 4 t плюс 1 минус a=0, t в квадрате минус 2 t минус 1 плюс a=0, конец системы . t больше 0 конец совокупности .$

имеет ровно три решения.

Возможны случаи:

1)   $D_1 больше 0,$ $1 минус a больше 0,$ $D_2=0,$ следовательно, решений нет;

2)   $D_1=0,$ $D_2 больше 0,$ $минус 1 плюс a больше 0,$ следовательно, решений нет;

3)   $D_1 больше 0,$ $1 минус a меньше или равно 0,$ $D_2 больше 0,$ $минус 1 плюс a больше 0,$ следовательно, $a принадлежит левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка ;$

4)   $D_1 больше 0,$ $1 минус a больше 0,$ $D_2 больше 0,$ $минус 1 плюс a меньше или равно 0,$ следовательно, $a принадлежит левая круглая скобка минус 3; 1 правая круглая скобка .$

И не забыть проверить в случаях 3) 4) тот момент, когда уравнения могут иметь общий корень. Уравнения имеют общий корень при $a=1$ и при $a= минус 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр как переменная, Задачи с параметрами. Уравнения, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь