Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что 
и 
а) Можно ли в четырёхугольник ABCD вписать окружность?
б) Найдите минимум отношения стороны BC к стороне AD.
Решение.
Обозначим 
Достроим четырёхугольник ABCD до равностороннего треугольника ADE (см. рис.). Из равенства треугольников DEB и ADC, AEC и DAB следует, что 
и 
Откуда следует, что 
Условие существования вписанной окружности в четырёхугольник ABCD принимает вид: 
что равносильно 
Выполнения которого невозможно в силу того, что 
Равенство 
вытекает из теоремы косинусов в треугольнике BEC или 
Поскольку
то
Причём равенство достигается при 
Ответ: 
?
Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год