Расстояние между центрами 
и 
окружностей 
и 
равно 5r, а их радиусы равны соответственно r и 7r. Хорда окружности касается окружности 
и делится точкой касания в отношении 1:6. Найдите длину этой хорды.
Пусть 
—
точка M — точка касания этой окружности с хордой AB. Из центра 
второй окружности 
проведем 
где точка K — середина хорды AB. Опустим 
и рассмотрим три различных случая расположения хорды 
и центров и 
1) Пусть 
лежат в одной полуплоскости относительно прямой и 
(рис. 4). Так как 
то L лежит на отрезке 
Пусть 
тогда
В прямоугольном 
имеем
В прямоугольном 
имеем 
откуда получаем, что
Учитывая, что 
получаем уравнение 
Решая его, находим 
Следовательно, 
2) Пусть 
по-прежнему лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB (рис. 5), но 
(в частности, может быть 
то есть AB — диаметр). Следовательно, L лежит на продолжении отрезка 
при этом 
Выражения для 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
Решая его, находим
Следовательно, 
3) Пусть лежат по разные стороны относительно прямой AB (рис. 6). Следовательно, 
лежит на продолжение отрезка при этом
Выражения для 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
и решений не имеет.
Ответ: 