РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6312 Добавить в вариант

Отрезок [2; 29] числовой оси разбит двумя точками a и b на три отрезка, длины которых x, y и z соответственно. Найти наибольшее возможное значение выражения $логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 y плюс логарифм по основанию 3 z.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразим исходное выражение:

$z=27 минус x минус y \Rightarrow f= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка y плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 27 минус x минус y правая круглая скобка .$

На рисунке изображено расположение точек a и b, дающее максимальное значение f при $x=x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ $y=y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ $z в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =27 минус x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка .$ Если изменить положение точки a, при этом точку b не менять, то функция $f левая круглая скобка x, y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка правая круглая скобка$ имеет максимум в точке $x=x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ поэтому

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x, y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: натуральный логарифм 3 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 минус x минус y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка |_x=x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =0 \Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 минус x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка конец дроби =0.$

Аналогично, зафиксировав положение точки a и, изменяя точку b, приходим у тому, что функция $f левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка , y правая круглая скобка$ имеет максимум при $y=y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка$ и ее производная в этой точке равна нулю.

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка , y правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: натуральный логарифм 3 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 минус x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка минус y конец дроби правая круглая скобка |_y=y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =0 \Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 минус x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка минус y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка конец дроби =0.$

Решая совместно систему, приходим к тому, что $x в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =z в степени левая круглая скобка * правая круглая скобка =9$ и $f_\max =3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 9=6.$

Ответ: $f_\max =6.$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь