РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6314 Добавить в вариант

Найти целые положительные делители x и y числа 1232, удовлетворяющие уравнению $5x минус 3y плюс 13=0.$

Решение.

Разложение на множители $1232=2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 7 умножить на 11.$ Решение уравнения

$5 x минус 3 y плюс 13=0 \Rightarrow система выражений x=3 t минус 2, y=5 t плюс 1, конец системы . t принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 246 правая фигурная скобка , t принадлежит Z .$

Числа $x не равно q 1$ и $y не равно q 1$ взаимно простые и каждое из них делится на одно из чисел 2, 7 или 11.

Первый случай. Если $x=2 k$   — четное число, то

$3 t минус 2=2 k \Rightarrow 3 t=2 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка \Rightarrow система выражений t = 2 s , k = 3 s минус 1 конец системы . \Rightarrow система выражений x=2 левая круглая скобка 3 s минус 1 правая круглая скобка , y=10 s плюс 1, конец системы . t принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 123 правая фигурная скобка .$ $3 t минус 2=2 k \Rightarrow 3 t=2 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка \Rightarrow система выражений t = 2 s , k = 3 s минус 1 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений x=2 левая круглая скобка 3 s минус 1 правая круглая скобка , y=10 s плюс 1, конец системы . t принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 123 правая фигурная скобка .$

Число у должно быть делителем числа 1232, и быть нечетным. Таких делителей три 7, 11, 77 и только одному, 11 соответствует $S=1$ и решения $x=4,$ $y=11.$

Второй случай. Если $x=7m,$ то

$3 t минус 2=7 m \Rightarrow 3 t минус 7 m=2 \Rightarrow система выражений t = 3 плюс 7 s , m = 1 плюс 3 s конец системы . \Rightarrow система выражений x=7 левая круглая скобка 3 s плюс 1 правая круглая скобка , y=35 s плюс 16, конец системы . s принадлежит левая фигурная скобка 0; 1; 34 правая фигурная скобка .$ $3 t минус 2=7 m \Rightarrow 3 t минус 7 m=2 \Rightarrow система выражений t = 3 плюс 7 s , m = 1 плюс 3 s конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений x=7 левая круглая скобка 3 s плюс 1 правая круглая скобка , y=35 s плюс 16, конец системы . s принадлежит левая фигурная скобка 0; 1; 34 правая фигурная скобка .$

Число $y больше или равно 16$ является делителем числа 1232 и не делится на 7, то есть может принимать одно из значений: 16, 22, 44, 88, 176. Последние четыре не реализуются, поскольку после вычитания 16 не делятся на 35. А делителю 16 соответствует $S=0$ и решения $x=7,$ $y=16.$

Третий случай. Если $x=11 n,$ то

$3 t минус 2=11 n \Rightarrow 3 t минус 11 n=2 \Rightarrow система выражений t = минус 3 плюс 1 1 s, n = минус 1 плюс 3 s конец системы . \Rightarrow система выражений x=11 левая круглая скобка 3 s минус 1 правая круглая скобка , y=55 s минус 14, конец системы . s принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 22 правая фигурная скобка .$ $3 t минус 2=11 n \Rightarrow 3 t минус 11 n=2 \Rightarrow система выражений t = минус 3 плюс 1 1 s, n = минус 1 плюс 3 s конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений x=11 левая круглая скобка 3 s минус 1 правая круглая скобка , y=55 s минус 14, конец системы . s принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 22 правая фигурная скобка .$ $3 t минус 2=11 n \Rightarrow 3 t минус 11 n=2 \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений t = минус 3 плюс 1 1 s, n = минус 1 плюс 3 s конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow система выражений x=11 левая круглая скобка 3 s минус 1 правая круглая скобка , y=55 s минус 14, конец системы . s принадлежит левая фигурная скобка 1; 2; 22 правая фигурная скобка .$

Число $y больше или равно 41$ является делителем числа 1232 и не делится на 11. Такими делителями могут быть только 56 и 112, но им не соответствует целое S. Таким образом, в случае 3 решений уравнения нет.

Ответ: 1) $x=4$ и $y=11;$ 2) $x=7$ и $y=16.$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь