сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана плос­кость  гамма , точки P и Q, при­чем точка P при­над­ле­жит плос­ко­сти  гамма , а точка Q на­хо­дит­ся вне плос­ко­сти  гамма . Най­ди­те все точки R, при­над­ле­жа­щие плос­ко­сти  гамма , для ко­то­рых от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: QP плюс PR, зна­ме­на­тель: QR конец дроби при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть P Q=a, P R=r,  \angle Q P R=\varphi; тогда

Q P= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка

и ука­зан­ное от­но­ше­ние за­пи­шем в виде

 дробь: чис­ли­тель: a плюс r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Это от­но­ше­ние будет тем боль­ше, чем мень­ше угол \varphi. Угол \varphi при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ; в этом слу­чае угол \varphi равен углу между пря­мой PQ и плос­ко­стью  гамма . Итак, точка R при­над­ле­жит про­ек­ции пря­мой PQ на плос­кость γ. Оста­ет­ся найти рас­сто­я­ние P R=r, для ко­то­ро­го функ­ция

f левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: a плюс r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

где α — угол между пря­мой PQ и плос­ко­стью γ, до­сти­га­ет мак­си­му­ма. На­хо­дим

 f левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 r минус 2 a ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те минус 2 умно­жить на a умно­жить на r умно­жить на ко­си­нус альфа минус левая круг­лая скоб­ка a плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 r минус 2 a ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Про­из­вод­ная об­ру­ша­ет­ся в нуль в точке r=a . В этой точке она ме­ня­ет знак c « плюс бес­ко­неч­ность на « минус бес­ко­неч­ность , по­это­му функ­ция f левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка в точке r=a до­сти­га­ет мак­си­му­ма. Тем самым по­лу­ча­ем ис­ко­мую точку. В слу­чае, когда от­ре­зок P Q пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти  гамма , в ка­че­стве точки R можно взять любую точку на окруж­но­сти с цен­тром в точке P и ра­ди­у­сом a.

 

Ответ: точка R  — любая точка на окруж­но­сти с цен­тром в точке P и ра­ди­у­сом a.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ — 10 бал­лов. Ре­ше­ние вер­ное, но име­ют­ся не­боль­шие не­до­че­ты не­прин­ци­пи­аль­но­го ха­рак­те­ра — 7−8 бал­лов. Про­из­вод­ная функ­ции най­де­на верно, но зна­ко­вая кри­вая от­сут­ству­ет — 5−6 бал­лов. Про­стран­ствен­ная за­да­ча верно све­де­на к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но рас­сто­я­ние най­де­но под­бо­ром — 3−4 балла.