сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние  левая квад­рат­ная скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка плюс 2 левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка =0? Ука­жи­те наи­мень­шее и наи­боль­шее их них. Здесь [a]  — целая часть числа a— наи­боль­шее целое число не пре­вос­хо­дя­щее a,  левая фи­гур­ная скоб­ка a пра­вая фи­гур­ная скоб­ка =a минус левая квад­рат­ная скоб­ка a пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — дроб­ная часть числа a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде

 левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = минус 2 левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

По­сколь­ку

 левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,

то  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = минус 1 и  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =0 . Воз­мож­ны два слу­чая:

1 пра­вая круг­лая скоб­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = минус 1, левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; конец си­сте­мы .

2 пра­вая круг­лая скоб­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =0, левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка =0. конец си­сте­мы .

Пер­вый слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = минус 1 , левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше или равно 2 x минус x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 , левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 2 x минус 1 мень­ше или равно 0,x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, конец си­сте­мы . ко­си­нус 2 Пи x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс n, n при­над­ле­жит Z конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , ко­си­нус 2 Пи x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . k при­над­ле­жит Z .

Пер­вая серия x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по­па­да­ет в ин­тер­вал  левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка при k= минус 1, по­лу­ча­ем  x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и в ин­тер­вал  левая круг­лая скоб­ка 2; 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при k=4, по­лу­ча­ем  x_2= дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Вто­рая серия x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби по­па­да­ет в ин­тер­вал  левая квад­рат­ная скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка при k=0, по­лу­ча­ем x_3= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и в ин­тер­вал  левая круг­лая скоб­ка 2; 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при k=5, по­лу­ча­ем x_4= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Вто­рой слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний левая квад­рат­ная скоб­ка 2 x минус x в квад­ра­те пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =0, левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка =0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно 2 x минус x в квад­ра­те мень­ше 1, левая фи­гур­ная скоб­ка ко­си­нус 2 Пи x пра­вая фи­гур­ная скоб­ка =0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 2 x плюс 1 боль­ше 0, x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, конец си­сте­мы . ко­си­нус 2 Пи x=n, n при­над­ле­жит Z конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , x не равно q 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус 2 Пи x= \pm 1, ко­си­нус 2 Пи x=0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , x не равно q 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . k при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вая серия при­над­ле­жит x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,  x не равно q 1 при k=0, 1, 3, 4 и им со­от­вет­ству­ют ре­ше­ния

x_5=0, \quad x_6= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \quad x_7= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \quad x_8=2.

Вто­рая серия при­над­ле­жит x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , x не равно q 1 при k=0, 1, 2, 3 и им со­от­вет­ству­ют ре­ше­ния

x_9= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , \quad x_10= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , \quad x_11= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , \quad x_12= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: всего 12 ре­ше­ний, x_\min = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  x_\max = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .