До­ка­жем сна­ча­ла одно вспо­мо­га­тель­ное утвер­жде­ние. Пусть плос­ко­сти и β пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой l и об­ра­зу­ют дву­гран­ный угол точка и (рис. 7). Сле­до­ва­тель­но, Пусть S  — про­из­воль­но вы­бран­ная на l точка, то из не­ра­вен­ства имеем

Сле­до­ва­тель­но,

Вер­нем­ся к ис­ход­ной за­да­че. Про­ве­дем плос­ко­сти и β через точку Пусть ребро куба равно 1 и O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ABCD. Пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли и ребру по­это­му плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на то есть сов­па­да­ет с Плос­кость β про­хо­дит через пря­мую сле­до­ва­тель­но, лежит на ребре дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го α и β. Так как AC па­рал­лель­на то CO пер­пен­ди­ку­ляр­на α (рис. 8). От­ме­тим,

то есть Как было по­ка­за­но выше, что если   — дву­гран­ный угол между плос­ко­стя­ми и β, то Сле­до­ва­тель­но, По­ка­жем, что угол может быть рав­ным

В плос­ко­сти через точку про­ве­дем пря­мую m пер­пен­ди­ку­ляр­ную а затем по­стро­им плос­кость β через m и пря­мую Тогда m будет реб­ром по­лу­чив­ше­го­ся дву­гран­но­го угла, а   — его плос­ким углом. Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае угол между плос­ко­стя­ми и β равен то есть на­и­ме­ны­ший воз­мож­ный угол между плос­ко­стя­ми и β равен

Ответ: