РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 65 Добавить в вариант

Парабола $x=y в квадрате$ пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида $y = ax в квадрате плюс bx плюс c.$

Спрятать решение

Решение.

Уравнение окружности в имеет вид $x в квадрате плюс y в квадрате плюс ax плюс by плюс c= 0$ для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы $x=y в квадрате$ удовлетворяют двум уравнениям, они удовлетворяют также любой их комбинации. В частности,

$левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате плюс ax плюс by плюс c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус y в квадрате правая круглая скобка =x в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x плюс c плюс by.$

Это уравнение задаёт параболу требуемого вида.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено доказательство в общем случае.	20
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	20

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Задачи с параметрами. Свойства функций

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь