Each of the inequalities determines a half-plane (with its boundary). For the system to have one solution, the lines that bound these planes have to intersect at one point (note that it does not guarantee that the system has exactly one solution  — it may happen that intersection of three planes is some domain in plane and that means infinitely many solutions for the system). So, first we have to find all values of a such that system of equations

has exactly one solution. The second equation can be written as Substituting this expression for x into the other equations yields

There is no problem to make sure that if coefficients of y on the left not turn to 0, the right sides are different from 0, and the system has no solutions. If these coefficients are not zeroes, we express y from the equations and equate them:

From these values of parameter is the smallest, and so we consider it first. If our system becomes

We can verify that it has exactly one solution by plotting the graph and making sure that all three half-planes have exactly one common point. So is the value of parameter we need.

Каж­дое из не­ра­венств опре­де­ля­ет по­лу­плос­кость (вме­сте с гра­ни­цей). Для того, чтобы си­сте­ма имела ровно одно ре­ше­ние, пря­мые, огра­ни­чи­ва­ю­щие по­лу­плос­ко­сти, долж­ны пе­ре­се­кать­ся в одной точке (это не га­ран­ти­ру­ет того, что си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние  — может слу­чить­ся, что пе­ре­се­че­ни­ем трёх по­лу­плос­ко­стей яв­ля­ет­ся не­ко­то­рая об­ласть плос­ко­сти, и си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний). Итак, нам нужно найти все такие зна­че­ния a, что си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние. Вто­рое урав­не­ние может быть за­пи­са­но как Под­став­ляя это­вы­ра­же­ние для x в остав­ши­е­ся урав­не­ния си­сте­мы даёт

Не­слож­но про­ве­рить, что если ко­эф­фи­ци­ен­ты при y в левых ча­стях не об­ра­ща­ют­ся в 0, пра­вые части от­лич­ны oт 0, и у си­сте­мы нет ре­ше­ний. Если эти ко­эф­фи­ци­ен­ты не­ну­ле­вые, мы вы­ра­жа­ем y из урав­не­ний и при­рав­ни­ва­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния:

Из этих зна­че­ний па­ра­мет­ра яв­ля­ет­ся наи­мень­шим, по­это­му рас­смот­рим его пер­вым. Если наша си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

Можно про­ве­рить, что она имеет ровно одно ре­ше­ние, изоб­ра­зив все три по­лу­плос­ко­сти на чер­те­же и убе­див­шись, что они имеют ровно одну общую точку. Итак,   — это ис­ко­мое зна­че­ние па­ра­мет­ра.

Ответ: 1.