Число z един­ствен­ным об­ра­зом рас­кла­ды­ва­ет в про­из­ве­де­ние про­стых: Возьмём любое про­стое число p и до­ка­жем, что сте­пень его вхож­де­ния в z де­лит­ся на 3. По­нят­но, что из этого сле­ду­ет, что z яв­ля­ет­ся кубом це­ло­го числа.

Пусть равно k, если n де­лит­ся на p^k и не де­лит­ся на p^k+1 (будем счи­тать, что ). Сгруп­пи­ру­ем сла­га­е­мые:

По­нят­но, что если z де­лит­ся на p, то и x де­лит­ся на p, но тогда y не де­лит­ся на p, так как наи­боль­ший де­ли­тель x, y, z равен 1. Рас­смот­рим оста­ток от де­ле­ния на 3.

До­пу­стим, оста­ток равен 1, то есть Тогда z² де­лит­ся на p^6k+2, а сте­пень p, на ко­то­рую де­лит­ся x³, де­лит­ся на 3. Таким об­ра­зом, два сла­га­е­мых в левой части и пра­вая часть де­лят­ся на по­пар­но раз­ные сте­пе­ни p, так как остат­ки этих сте­пе­ней по мо­ду­лю 3 раз­лич­ны (так как и не де­лят­ся на p). Тогда ра­вен­ство не может быть вы­пол­не­но. В слу­чае ≡ ана­ло­гич­но ра­вен­ство не может быть вы­пол­не­но. Зна­чит, остаётся толь­ко слу­чай, где де­лит­ся на 3, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.