Рас­смот­рим функ­цию функ­ция с ве­ще­ствен­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми.

Сна­ча­ла за­ме­тим, что такая функ­ция обя­за­тель­но имеет (хотя 6ы) один ко­рень на так как и по­это­му ее гра­фик «где-том дол­жен пе­ре­сечь ось абс­цисс.

Далее за­ме­тим, что если такая функ­ция имеет две точки ло­каль­ных экс­тре­му­мов на то пер­вая из них x₁  — обя­за­тель­но ло­каль­ный мак­си­мум, а x₂  — обя­за­тель­но ло­каль­ный ми­ни­мум (см. рис.).

И, на­ко­нец, за­ме­тим, что такая функ­ция с двумя ло­каль­ны­ми экс­тре­му­ма­ми имеет три раз­ных корня тогда и толь­ко тогда, когда а (см. рис.).

Най­дем точки экс­тре­му­мов функ­ции

на Так как

то точки ло­каль­ных экс­тре­му­мов  — это корни урав­не­ния то есть точки

и

Те­перь нам надо вы­чис­лить зна­че­ния функ­ции

в най­ден­ных точ­ках экс­тре­му­мов. Для того, чтобы упро­стить наши вы­чис­ле­ния, вос­поль­зу­ем­ся тем, что в этих точ­ках про­из­вод­ная равна нулю:

В со­от­вет­ствии с этим пред­став­ле­ни­ем имеем:

и

Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние не может иметь более од­но­го (ве­ще­ствен­но­го) корня.

Ответ: урав­не­ние имеет един­ствен­ный (и од­но­крат­ный) ве­ще­ствен­ный ко­рень.