сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Уче­ник по­стро­ил че­ты­рех­уголь­ник MNKL и из­ме­рил рас­сто­я­ния от вер­шин до точки P, ко­то­рую ука­зал учи­тель. Ока­за­лось, что MP в квад­ра­те плюс NP в квад­ра­те плюс KP в квад­ра­те плюс LP в квад­ра­те =2S, где S — пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка. Что за че­ты­рех­уголь­ник по­стро­ил уче­ник, и что за точку ука­зал учи­тель?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть M K=a, N P=b, K P=c, L P=d, длины диа­го­на­лей обо­зна­чим через d_1 и d_2, через α — угол между диа­го­на­ля­ми. Тогда

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d_1 умно­жить на d_2 умно­жить на синус альфа мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d_1 умно­жить на d_2 .

Ис­поль­зуя не­ра­вен­ство о сред­них и усло­вие за­да­чи, по­лу­чим

 S мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d_1 умно­жить на d_2 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: d_1 в квад­ра­те плюс d_2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те плюс d в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =S.

Таким об­ра­зом, все не­ра­вен­ства пе­ре­хо­дят в ра­вен­ства, то есть a=b=c=d,  синус альфа =1 . Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый четырёхуголь­ник квад­рат, а точка P  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

 

Ответ: квад­рат, точка P  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

БаллыКри­те­рии оце­ни­ва­ния
7Пол­ное обос­но­ван­ное ре­ше­ние.
6Обос­но­ван­ное ре­ше­ние с не­су­ще­ствен­ны­ми не­до­че­та­ми.
5−6Ре­ше­ние со­дер­жит не­зна­чи­тель­ные ошиб­ки, про­бе­лы в обос­но­ва­ни­ях, но в целом верно и может стать пол­но­стью пра­виль­ным после не­боль­ших ис­прав­ле­ний или до­пол­не­ний.
4За­да­ча в боль­шей сте­пе­ни ре­ше­на, чем не ре­ше­на, на­при­мер, верно рас­смот­рен один из двух (более слож­ный) су­ще­ствен­ных слу­ча­ев.
2−3За­да­ча не ре­ше­на, но при­ве­де­ны фор­му­лы, чер­те­жи, со­об­ра­же­ния или до­ка­за­ны не­ко­то­рые вспо­мо­га­тель­ные утвер­жде­ния, име­ю­щие от­но­ше­ние к ре­ше­нию за­да­чи.
1За­да­ча не ре­ше­на, но пред­при­ня­та по­пыт­ка ре­ше­ния, рас­смот­ре­ны, на­при­мер, от­дель­ные (част­ные слу­чаи при от­сут­ствии ре­ше­ния или при оши­боч­ном ре­ше­нии.
0Ре­ше­ние от­сут­ству­ет, либо ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.