РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6752 Добавить в вариант

В 101-значной десятичной записи числа n используются 11 единиц с равным количеством нулей между ними (других цифр в записи нет). Найдите сумму цифр десятичной записи числа n².

The 101-digits decimal notation of n uses 11 digits «1» with an equal number of zeros between them (there are no other digits in the notation). Find the sum of the decimal digits of n².

Спрятать решение

Решение.

Представим n в виде

$1 плюс 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 10 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =\sum_k=0 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 10 k правая круглая скобка ,$ $n в квадрате = левая круглая скобка \sum_k=0 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 10 k правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате =\sum_k=0 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка 20 k правая круглая скобка плюс \sum_0 меньше или равно i, j меньше или равно 10 10 в степени левая круглая скобка 10 левая круглая скобка i плюс j правая круглая скобка правая круглая скобка .$

В разрядах, номера которых не кратны 10, будут стоять нули (за исключением, возможно, некоторых, в которых будут стоять единицы, что мы и увидим далее).

Очевидно, в нулевом разряде числа n² будет стоять единица. Слагаемые, соответствующие $i больше 1,$ никак не повлияют на цифру, стоящую в 10-м разряде. Аналогично, слагаемые, соответствующие $i больше m$ для всякого натурального $m меньше 10,$ не повлияют на цифру, стоящую в $10 m$ -м разряде. Осталось подсчитать, сколько слагаемых соответствуют всяким $i меньше или равно m$ для каждого из этих m. Нетрудно убедиться, что в 10-м разряде будет стоять цифра 2, в 20-м  — цифра 3 и т. д. до 90-го разряда, соответствующего $m=9,$ поскольку число 9 представляется в виде суммы двух целых неотрицательных чисел $левая круглая скобка i плюс j правая круглая скобка 10$ способами  — значит, в 90-м разряде будет стоять ноль, а в 91-м  — единица. Аналогично, в 100-м разряде будет стоять единица, как и в 101-м, потому что число 10 представимо в виде $левая круглая скобка i плюс j правая круглая скобка 11$ способами (i, j  — целые неотрицательные числа). Осталось представить каждое из натуральных чисел от 11 до 20 в виде суммы двух целых неотрицательных чисел, не превосходящих 10.

Итак, сумма цифр числа n² равна

$1 плюс 2 плюс 3 плюс умножить на s плюс 9 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 9 плюс 8 плюс 7 плюс умножить на s плюс 2 плюс 1=2 умножить на левая круглая скобка 1 плюс умножить на s плюс 9 правая круглая скобка плюс 4=94.$ $1 плюс 2 плюс 3 плюс умножить на s плюс 9 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 9 плюс 8 плюс 7 плюс умножить на s плюс 2 плюс 1=$
$=2 умножить на левая круглая скобка 1 плюс умножить на s плюс 9 правая круглая скобка плюс 4=94.$

Ответ: 94.

Let's represent n as

The digits which numbers are not multiples of 10, will contain zeros (except, perhaps, some which we will see later). Obviously, the zero position of the number n² will contain one. The terms corresponding to $i больше 1$ will not affect the 10th digit in any way. Similarly, the terms corresponding to $i больше m$ for any positive integer $m меньше 10$ will not affect the digit in the 10m-th position. It remains to calculate how many terms correspond to each $i меньше или равно m$ for each of these m. It is easy to make sure that the 10th digit will contain digit 2, the 20th  — digit 3, etc. up to the 90th position, corresponding to $m=9,$ since the number 9 is represented as a sum of two non-negative integers $левая круглая скобка i плюс j правая круглая скобка$ in 10 ways  — that means that in the 90th position there will be zero, and in 91-st there will be digit «1». Similarly, in the 100 th position there will be «1», as in the 101 st, because the number 10 can be represented as $левая круглая скобка i плюс j правая круглая скобка$ in 11 ways (i, j are non-negative integers). It remains to represent each of the integers from 11 to 20 as a sum of two non-negative integers not exceeding 10.

So, the sum of the digits of the number n² is equal to

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Описание системы баллов за решение задач

I. Первичная оценка решения каждой задачи выставляется по 5-балльной шкале, где

0 — задача не решена или решена неверно из-за грубых ошибок в рассуждениях;

1 — задача решена неверно, но присутствует плодотворная идея, применимая для решения задачи;

2 — задача решена неверно, но присутствует и частично применена плодотворная идея, достигнут некоторый прогресс в решении;

3 — задача решена частично либо полностью, но с существенными арифметическими ошибками при наличии правильного хода рассуждений;

4 — задача решена верно, но с незначительными ошибками;

5 — задача полностью решена.

II. Для каждой задачи вычисляется средний балл (M) по результатам ее решения всеми участниками.

III. Весовой коэффициент (K) каждой задачи вычисляется по простой формуле:

$K=10 минус 1,8 умножить на M .$

Таким образом, весовой коэффициент задачи может изменяться в пределах от 1 до 10 в зависимости от среднего балла участников за эту задачу.

IV. Балл каждого участника за каждую задачу умножается на весовой коэффициент этой задачи.

V. Баллы, набранные участником, суммируются с округлением до ближайшего целого в большую сторону.

Specification of the score system

I. Pre-score of the solution to each problem is set on a 5-point scale, where

0 — a task was not solved or solved incorrectly due to gross reasoning blunder;

1 — a task was solved incorrectly but there is a fruitful idea that can be used to solve the task;

2 — a task was solved incorrectly but a fruitful idea is present and partially applied, some progress has been made in the solution;

3 — a task was solved partially or completely but with significant arithmetic errors in the presence of the correct line of reasoning;

4 — a task was solved correctly but with minor errors;

5 — a task was solved completely.

II. An average score (M) is calculated based on the results of all participants for each task.

III. The weighting factor (K) of each task is calculated using a simple formula:

$K=10 минус 1,8 умножить на M.$

Thus, the weighting coefficient of a task can vary from 1 to 10 , depending on the average score of the participants for this task.

IV. Each participant's score for each task is multiplied by the weighting factor of that task.

V. The points scored by the participant are summed and rounded up to the nearest integer.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления, Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь