РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6763 Добавить в вариант

Даны целые числа a₁, ..., a₁₀₀₀. По кругу записаны их квадраты $a в квадрате _1, ..., a_1000 в квадрате .$ Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на 41². Верно ли, что каждое из чисел $a_1, ..., a_1000$ делится на 41?

(Борис Френкин)

Спрятать решение

Решение.

Из условия следует, что $a_k плюс 41 в квадрате \equiv a_k в квадрате левая круглая скобка \bmod 41 в квадрате правая круглая скобка$ (индексы считаем зацикленными, то есть за 1000 следует 1). Значит, $a_k плюс 41 n в квадрате \equiv a_k в квадрате левая круглая скобка \bmod 41 в квадрате правая круглая скобка$ при любом $n .$ Так как числа 41 и 1000 взаимно просты, то квадраты всех чисел на круге дают при делении на $41 в квадрате$ один и тот же остаток. Следовательно, $41 a_k в квадрате$ делится на $41 в квадрате ,$ поэтому $a_k в квадрате$ делится на 41 , а поскольку 41  — простое число, то и $a_k$ делится на 41.

Ответ: верно.

Турнир городов, 8, 9 класс, Осенний тур, 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Помощь