На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого — дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше π, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
(А. Заславский)
I способ. Пусть O — центр сферы, а ABC — данный сферический треугольник. По формуле площади сферического треугольника
то есть 
(Доказательство формулы площади заключается в применении формулы включений-исключений к трем полусферам, пересечением которых является данный треугольник.)
Построим на сфере точку D, лежащую с C в разных полуплоскостях относительно OAB, и такую, что 
и симметрии относительно серединного перпендикуляра к AB). Тогда треугольники ABC и BAD равны. Значит, 
следовательно, сферические треугольники 
и 
также равны треугольнику 
Четыре полученных треугольника покрывают сферу.
II способ. Пусть A, B, C — вершины данного треугольника. Покажем, что треугольник ABC остроугольный. Действительно, пусть 
Если плоскость 
содержит центр O сферы, то сферический треугольник ABC вырожден, и его площадь не такая, как надо. Иначе 
отрезает от сферы «шапочку» площади меньше полусферы. Далее, прямая AB (нестрого) разделяет C и проекцию O на 
значит, часть шапочки, отсекаемая плоскостью OAB и содержащая C, не больше её половины. Наконец, сферический треугольник 
лежит в этой области, площадь которой меньше четверти площади сферы — противоречие.
Итак, треугольник ABC остроугольный; тогда существует равногранный тетраэдр ABCD (точки D и O лежат в одной полуплоскости относительно ABC). Пусть 
—
разбивают пространство, то есть каждый из них равен четверти площади единичной сферы. Однако, если ближе в ABC, чем O, то этот телесный угол больше, чем OABC, а если дальше — то меньше. Оба случая невозможны; значит, 
и упомянутые телесные углы дают требуемое разбиение сферы на 4 части.