I спо­соб. При­сво­им цве­там остат­ки от де­ле­ния на 3 про­из­воль­ным об­ра­зом. Все опе­ра­ции с ними также будем про­из­во­дить по мо­ду­лю 3. Тогда опе­ра­ция, про­из­во­ди­мая ро­бо­том, та­ко­ва: если уни­что­жа­ют­ся ку­би­ки цве­тов a и b, то по­яв­ля­ет­ся кубик цвета

Если то после каж­до­го про­хо­да пол­но­го круга ко­ли­че­ство ку­би­ков умень­ша­ет­ся вдвое, а их сумма ме­ня­ет знак. Зна­чит, в конце по­лу­чит­ся кубик цвета вне за­ви­си­мо­сти от места стар­та. Мы до­ка­за­ли, что сте­пе­ни двой­ки удач­ны.

Если где то рас­смот­рим рас­ста­нов­ку из од­но­го крас­но­го ку­би­ка и бе­ло­го. Если робот стар­ту­ет перед крас­ным ку­би­ком, то после d ходов оста­нут­ся один синий кубик и белых. Если робот стар­ту­ет не­по­сред­ствен­но после крас­но­го ку­би­ка, то через d ходов оста­нут­ся один крас­ный кубик и белых. Вы­ше­при­ве­ден­ные ар­гу­мен­ты для сте­пе­ни двой­ки по­ка­зы­ва­ют, что в этих двух си­ту­а­ци­ях ито­го­вые цвета будут раз­ны­ми, то есть N не­удач­но.

Ответ: Сте­пе­ни двой­ки.

II спо­соб. За­ме­тим сразу, что, если чётное число N удач­но, то и тоже. Дей­стви­тель­но, если в рас­ста­нов­ке N ку­би­ков робот будет на­чи­нать толь­ко с чётных по­зи­ций, то после ходов он будет по­лу­чать одну и ту же рас­ста­нов­ку, в ко­то­рой он стоит на все­воз­мож­ных по­зи­ци­ях. По­сколь­ку каж­дая рас­ста­нов­ка ку­би­ков может быть по­лу­че­на таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое.

Рас­смот­рим две рас­ста­нов­ки, от­ли­ча­ю­щи­е­ся ровно в одном месте. За­пу­стим в них по ро­бо­ту па­рал­лель­но; тогда по­лу­ча­ю­щи­е­ся рас­ста­нов­ки все­гда будут от­ли­чать­ся ровно в одном месте. В част­но­сти, ито­го­вые цвета будут раз­лич­ны.

От­сю­да уже сле­ду­ет, что все нечётные (а зна­чит, по за­ме­ча­нию, и все N, кроме сте­пе­ней двой­ки) не­удач­ны. Дей­стви­тель­но, начнём с рас­ста­нов­ки с одним крас­ным и бе­лы­ми ку­би­ка­ми. Если робот стоял перед крас­ным ку­би­ком, через ход оста­нут­ся один крас­ный и белый кубик, робот стоит после крас­но­го. Если же робот стар­ту­ет не­по­сред­ствен­но после крас­но­го, через ход оста­нут­ся один синий и белых ку­би­ков, робот стоит не­по­сред­ствен­но после си­не­го. Как по­ка­за­но выше, ито­го­вые цвета в этих двух си­ту­а­ци­ях будут раз­ны­ми.

По­ка­жем те­перь, что, если N  — сте­пень двой­ки, то ито­го­вый цвет не за­ви­сит от места стар­та. Для этого сде­ла­ем ещё одно на­блю­де­ние по по­во­ду за­ме­ны цвета. Если цвет од­но­го ку­би­ка в рас­ста­нов­ке сме­нить на сле­ду­ю­щий в цик­ли­че­ском по­ряд­ке

то после од­но­го ис­поль­зо­ва­ния цвет сдви­нет­ся в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну. Зна­чит, если любая такая за­ме­на ис­ход­но­го ку­би­ка при­ведёт к сдви­гу цвета ито­го­во­го ку­би­ка в одну и ту же сто­ро­ну. Оста­лось за­ме­тить, что две рас­ста­нов­ки, от­ли­ча­ю­щи­е­ся по­во­ро­том, по­лу­ча­ют­ся из рас­ста­нов­ки всех белых ку­би­ков за оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство замен «вперёд по циклу».