РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6778 Добавить в вариант

Многочлен $P левая круглая скобка x, y правая круглая скобка$ таков, что для всякого целого $n больше или равно 0$ каждый из многочленов $P левая круглая скобка n, y правая круглая скобка$ и $P левая круглая скобка x, n правая круглая скобка$ либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n. Может ли многочлен $P левая круглая скобка x,x правая круглая скобка$ иметь нечётную степень?

(Борис Френкин)

Спрятать решение

Решение.

Пусть наибольшая степень, в которой встречается x, равна m, а наибольшая степень, в которой встречается y, равна n, Для определенности положим $n больше или равно m .$ Запишем многочлен $P левая круглая скобка x, y правая круглая скобка$ в виде $A левая круглая скобка x правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс B левая круглая скобка x правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots,$ где $A левая круглая скобка x правая круглая скобка , B левая круглая скобка x правая круглая скобка , \ldots$   — многочлены от x. Поскольку при всех $k меньше n$ степень многочлена

$P левая круглая скобка k, y правая круглая скобка =A левая круглая скобка k правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс B левая круглая скобка k правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots$

меньше n, то

$A левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =A левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =\ldots=A левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =0.$

У многочлена $A левая круглая скобка x правая круглая скобка$ есть n различных корней, поэтому его степень не меньше n. Но она не больше m, значит, $m=n .$ При этом одночлен $x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ заведомо встречается в произведении $A левая круглая скобка x правая круглая скобка y в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ и не встречается в остальных произведениях, поэтому $\deg P левая круглая скобка x, x правая круглая скобка =2 n.$

Замечание. Можно показать, что условию задачи удовлетворяют все многочлены следующего вида и только они:

$c_0 плюс x y левая круглая скобка c_1 плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c_2 плюс \ldots плюс левая круглая скобка c_k плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x минус k правая круглая скобка левая круглая скобка y минус k правая круглая скобка c_k плюс 1 \ldots, правая круглая скобка , ...$

где k  — неотрицательное целое число, $c_0, \ldots, c_k плюс 1$   — константы.

Ответ: не может.

Турнир городов, 11, 10 класс, Осенний тур, 2020 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...)

Спрятать решение · Помощь