(A. Ша­по­ва­лов) Оче­вид­но, что а при от­но­ше­ние из усло­вия мень­ше k, по­это­му при всех Если по­сле­до­ва­тель­ность не сов­па­да­ет с на­ту­раль­ным рядом, то при не­ко­то­ром k. Тогда

для каж­до­го це­ло­го i, от­ку­да то есть Обо­зна­чим Чтобы оце­нить свер­ху про­из­воль­ное оце­ним свер­ху

Раз­де­лив n на k с остат­ком, по­лу­ча­ем тогда для пер­во­го сла­га­е­мо­го:

Ана­ло­гич­но за­пи­сы­ва­ем и оце­ни­ва­ем вто­рое сла­га­е­мое, и т. д. Ясно, что не более k под­ряд иду­щих сла­га­е­мых в (*) мы оце­ним свер­ху чис­лом не более k под­ряд иду­щих сла­га­е­мых  — чис­лом и так далее, от­ку­да левая часть не­ра­вен­ства (*) не пре­вос­хо­дит

Это зна­чит, что все не пре­вос­хо­дят По­сколь­ку по­сле­до­ва­тель­ность оче­вид­но, не убы­ва­ет, то она ста­би­ли­зи­ру­ет­ся на числе, не боль­шем