а) Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры MP, MQ, MR, MT на пря­мые AB, BC, CD, DA со­от­вет­ствен­но. Тогда

За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AMP и CMR имеют рав­ные ка­те­ты MP и MR, по­это­му из них можно сло­жить тре­уголь­ник две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны MA и MC, а зна­чит,

Ана­ло­гич­но

Сле­до­ва­тель­но,

Из усло­вия видно, что все преды­ду­щие не­ра­вен­ства на самом деле яв­ля­ют­ся ра­вен­ства­ми. Это зна­чит, что, во-пер­вых, точки P, Q, R, T лежат на со­от­вет­ству­ю­щих сто­ро­нах четырёхуголь­ни­ка и, во-вто­рых, тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, то есть

Ана­ло­гич­но от­ку­да

то есть четырёхуголь­ник впи­сан­ный.

б) Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка (см. а) видно, что

Ана­ло­гич­но Тогда

Вы­чис­ляя по­хо­жим об­ра­зом сумму мы по­лу­чим тот же ре­зуль­тат.

За­ме­ча­ние. Пло­щадь лю­бо­го впи­са­но-опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка ABCD равна где M  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти четырёхуголь­ни­ка ABCD.