РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6799 Добавить в вариант

Пусть O  — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M  — середина стороны AC. Прямая BO пересекает высоты AA₁ и CC₁ в точках H_a и H_c соответственно. Описанные окружности треугольников BH_aA и BH_cC вторично пересекаются в точке K. Докажите, что K лежит на прямой BM.

(Михаил Евдокимов)

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

I способ. Пусть $B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — точка, симметричная точке B относительно точки M, а описанная окружность треугольника $A C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ пересекает медиану BM в точке K. Тогда внешний угол $A K B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ треугольника AKB равен $\angle A C B в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A$ (см. далее рисунок слева). Но и внешний угол $B H_a A_1$ треугольника $A H_a B$ равен

$\angle B A A_1 плюс \angle A B O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C=\angle A$

(см. далее рисунок справа). Поэтому $\angle A K B=\angle A H_a B,$ то есть точка K лежит на описанной окружности треугольника $B H_a A.$ Аналогично она лежит на описанной окружности треугольника $B H_c C.$

II способ. Пусть BD  — диаметр описанной окружности треугольника A B C. Поскольку $\angle A D B=\angle C,$ имеем:

$\angle C A H_a=\angle C A A_1=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A D B=\angle A B H_a .$

Следовательно, сторона A C касается описанной окружности треугольника $B H_a A.$ Аналогично она касается описанной окружности треугольника $B H_c C.$ Как известно, радикальная ось B K этих двух окружностей проходит через середину M отрезка AC их общей касательной.

Турнир городов, 11, 10 класс, Весенний тур, 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный

Спрятать решение · Помощь