РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 680 Добавить в вариант

Относительно квадратных трехчленов $f_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c_1,$ $f_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c_2,$ ..., $f_2020 левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c_2020$ известно, что каждый из них имеет по два корня. Обозначим через x_i один из корней $f_i левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ где $i=1, 2, ..., 2020.$ Найдите значение

$f_2 левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка плюс f_3 левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка плюс ... плюс f_2020 левая круглая скобка x_2019 правая круглая скобка плюс f_1 левая круглая скобка x_2020 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Так как $f_1 левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка =0,$ то

$f_2 левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка =f_1 левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c_2 минус c_1 правая круглая скобка =c_2 минус c_1.$

Аналогично можно получить следующие равенства:

$f_3 левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка =c_3 минус c_2,$ $\quad \ldots,$ $\quad f_2020 левая круглая скобка x_2019 правая круглая скобка =c_2020 минус c_2019,$ $\quad f_1 левая круглая скобка x_2020 правая круглая скобка =c_1 минус c_2020 .$

Складывая эти равенства, получим

$f_2 левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка плюс f_3 левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс f_2020 левая круглая скобка x_2019 правая круглая скобка плюс f_1 левая круглая скобка x_2020 правая круглая скобка =0.$

Ответ: 0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь