Существует ли такое натуральное n, что для любых вещественных чисел x и y найдутся вещественные числа 
удовлетворяющие равенствам
и 
(Артемий Соколов)
I способ. Докажем, что подходит 
Предварительно заметим, что любую пару 
с ненулевым y можно получить так:
Аналогично можно получить любую пару 
с ненулевым x. Тогда любую пару 
с отличными от нуля x и y можно получить как «сумму» двух рассмотренных выше пар. Пару можно получить как сумму двух пар 
аналогично можно получить пару 
а пару 
—
Ответ: существует.
II способ. Докажем, что подходит 
Заметим, что если мы зафиксируем положительное число k и рассмотрим все возможные пары положительных чисел a, b с суммой k, то множество значений выражения 
это луч 
проверьте это, записав сумму в виде
Тогда для данных x и y выберем положительные суммы 
и 
так, что 
(сами числа 
пока не фиксируем).
Поскольку выражения 
и 
по сказанному выше, принимают все достаточно большие значения, можно подобрать положительные так, чтобы разность этих выражений равнялась y.
III способ. Докажем, что подходит Будем искать числа 
как корни многочлена вида
(согласно формулам Виета они удовлетворяют указанным равенствам). Поскольку 
для того чтобы многочлен 
имел четыре вещественных корня, достаточно, чтобы числа 
и 
были отрицательны. Мы этого добьемся, взяв 
Замечание. Можно доказать, что 
и 
не подходят.