РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 685 Добавить в вариант

Ученик построил четырехугольник MNKL и измерил расстояния от вершин до точки Q, которую указал учитель. Оказалось, что $MQ в квадрате плюс NQ в квадрате плюс KQ в квадрате плюс LQ в квадрате =2S,$ где S  — площадь четырехугольника. Что за четырехугольник построил ученик, и что за точку указал учитель?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $M Q=a,$ $N Q=b,$ $K Q=c,$ $L Q=d,$ длины диагоналей обозначим через $d_1$ и $d_2,$ через $альфа минус$ угол между диагоналями. Тогда

$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1 умножить на d_2 умножить на синус альфа меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1 умножить на d_2 .$

Используя неравенство о средних и условие задачи, получим

$S меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1 умножить на d_2 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: d_1 в квадрате плюс d_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс d правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате плюс d в квадрате правая круглая скобка =S.$

Таким образом, все неравенства переходят в равенства, то есть $a=b=c=d,$ $синус альфа =1 .$ Следовательно, искомый четырёхугольник квадрат, а точка Q  — точка пересечения диагоналей.

Ответ: квадрат, точка Q  — точка пересечения диагоналей.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник произвольный, Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь