сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD, вы­со­той ко­то­рой яв­ля­ет­ся ребро SA=25. Точка P при­над­ле­жит ме­ди­а­не DM грани SCD, точка Q при­над­ле­жит диа­го­на­ли BD и пря­мые AP и SQ пе­ре­се­ка­ют­ся. Най­ди­те длину PQ, если BQ:QD=3:2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как пря­мые AP и SQ пе­ре­се­ка­ют­ся, то точки A, P, S, Q лежат в одной плос­ко­сти. Пусть R  — точка пе­ре­се­че­ния SP и AQ. Тогда

дробь: чис­ли­тель: R Q, зна­ме­на­тель: A Q конец дроби = дробь: чис­ли­тель: D Q, зна­ме­на­тель: B Q конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: R Q, зна­ме­на­тель: R A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

До­ка­жем, что дробь: чис­ли­тель: R M, зна­ме­на­тель: R S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . От­ме­тим, что

дробь: чис­ли­тель: D Q, зна­ме­на­тель: B A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: D Q, зна­ме­на­тель: C D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: C D, зна­ме­на­тель: D Q конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть H  — точка ребра SC такая, что RH па­рал­лель­на DM. Тогда

дробь: чис­ли­тель: C H, зна­ме­на­тель: H M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: C R, зна­ме­на­тель: R D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: M S, зна­ме­на­тель: M H конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: M H, зна­ме­на­тель: S H конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: R M, зна­ме­на­тель: R S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков RPQ и RSA, по­лу­ча­ем, что

дробь: чис­ли­тель: P Q, зна­ме­на­тель: S A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: P Q, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \Rightarrow P Q=10 .

Ответ: 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

БаллыКри­те­рии оце­ни­ва­ния
7Пол­ное обос­но­ван­ное ре­ше­ние.
6Обос­но­ван­ное ре­ше­ние с не­су­ще­ствен­ны­ми не­до­че­та­ми.
5−6Ре­ше­ние со­дер­жит не­зна­чи­тель­ные ошиб­ки, про­бе­лы в обос­но­ва­ни­ях, но в целом верно и может стать пол­но­стью пра­виль­ным после не­боль­ших ис­прав­ле­ний или до­пол­не­ний.
4За­да­ча в боль­шей сте­пе­ни ре­ше­на, чем не ре­ше­на, на­при­мер, верно рас­смот­рен один из двух (более слож­ный) су­ще­ствен­ных слу­ча­ев.
2−3За­да­ча не ре­ше­на, но при­ве­де­ны фор­му­лы, чер­те­жи, со­об­ра­же­ния или до­ка­за­ны не­ко­то­рые вспо­мо­га­тель­ные утвер­жде­ния, име­ю­щие от­но­ше­ние к ре­ше­нию за­да­чи.
1За­да­ча не ре­ше­на, но пред­при­ня­та по­пыт­ка ре­ше­ния, рас­смот­ре­ны, на­при­мер, от­дель­ные (част­ные слу­чаи при от­сут­ствии ре­ше­ния или при оши­боч­ном ре­ше­нии.
0Ре­ше­ние от­сут­ству­ет, либо ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024