Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD, в которых 
Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина CD в таком тетраэдре?
Пусть E — середина AB. прямые CE и DE — медианы равнобедренных треугольников ABC и ABD, а значит, биссектрисы и высоты. То есть 
Значит, отрезок AB перпендикулярен плоскости CDE, следовательно, 
Таким образом, AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через 
Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а AB является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если AB — диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки DE и CE длиннее, чем 
Действительно, из треугольников ACE 
и 
Рассмотрим тетраэдр, в котором AB является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки C и D лежат по одну или по разные стороны плоскости 
Пусть H — проекция точек C и D на плоскость 
Угол 
так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. 
в силу равенства треугольников 
и 
Тогда 
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках 
и 
соответственно: 
и 
Тогда, если точки C и D лежат по одну сторону от плоскости 
то
Если точки C и D лежат по разные стороны от плоскости то
Ответ: 