РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6948 Добавить в вариант

Найти значение функции $\underbracef левая круглая скобка f левая круглая скобка \ldots f левая круглая скобка f_2021 раз левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка$ в точке x  =  6, если $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби плюс 4.$

Спрятать решение

Решение.

Можно заметить, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5= дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: 5 конец дроби .$ Значит, каждое применение функции сокращает расстояние от числа до 5 в 5 раз. Для x  =  6 оно было равно 1, значит, после 2021 применения функции это расстояние будет равным $5 в степени левая круглая скобка минус 2021 правая круглая скобка ,$ а само число станет равным $5 плюс 5 в степени левая круглая скобка минус 2021 правая круглая скобка .$

Альтернативное решение задачи: можно заметить, что

$\underbracef левая круглая скобка f левая круглая скобка \ldots f левая круглая скобка f_2021 раз левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка = левая круглая скобка \underbrace 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 25 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка конец дроби _геометрическая прогрессия правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка конец дроби .$

По формуле:

$\underbracef левая круглая скобка f левая круглая скобка \ldots f левая круглая скобка f_2021 раз левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка =4 умножить на дробь: числитель: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка конец дроби , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка конец дроби =5 плюс дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка конец дроби ,$

то есть

Ответ: $5 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка конец дроби .$

Олимпиада Океан знаний, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства

Спрятать решение · Помощь