РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6971 Добавить в вариант

Какое наименьшее значение может принимать функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс 5.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $t=x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ тогда $t в квадрате =x в квадрате плюс 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби ,$ то есть $x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби =t в квадрате минус 2,$ при этом

$g левая круглая скобка t правая круглая скобка =3 t в квадрате плюс 2 t минус 1= левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 t минус 1 правая круглая скобка .$

Парабола с вершиной в точке $t_0= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Наименьшее значение

$\min g левая круглая скобка t правая круглая скобка =\min левая круглая скобка g левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка ,$ $g левая круглая скобка 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =g левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =7.$

Но при $t=x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби = минус 2 arrow x= минус 1.$ То есть наименьшее значение функции f(x) принимается при $x= минус 1$ и $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =7.$

Ответ: $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =7.$

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2015 год

Классификатор: Анализ. Производная и наибольшее / наименьшее значения

Спрятать решение · Помощь