Пусть BC — наибольшая сторона треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка K, на стороне AC — точка L, а на стороне BC — точки M и N так, что AK = AL, BK = BN, CL = CM. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.
Треугольник AKL — равнобедренный, поэтому биссектриса его угла A является и серединным перпендикуляром к стороне KL. Поэтому любая точка, лежащая на этой биссектрисе, и, в частности, точка I пересечения биссектрис треугольника ABC, равноудалена от точек K и L. Аналогично из рассмотрения равнобедренных треугольников BKN и CLM получаем, что точка l равноудалена от пар точек K и N, L и M. Значит, точка l равноудалена от всех четырех точек K, L, M, N. Что требовалось доказать.