Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В тетраэдре ABCD медиана AE грани ABC перпендикулярна ребру BD, а медиана AF грани ABD перпендикулярна ребру BC. Докажите, что ребро AB перпендикулярно ребру CD.
(А. Голованов)
Решение.
Пусть 
Тогда 
Векторы, идущие по медианам, равны
Условия 
и 
переписываются в терминах скалярного произведения: 
и 
Раскрыв скобки и вычтя из первого равенства второе, получим: 
т. е. 
Это и, значит, что векторы 
и 
перпендикулярны.