РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 701 Добавить в вариант

Равносторонние треугольники ABC и A1B_₁C₁ со стороной 12 вписаны в окружность S так, что точка A лежит на дуге B₁C₁, а точка B лежит на дуге A1B1. Найдите $AA_1 в квадрате плюс BB_1 в квадрате плюс CC_1 в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что дуги $A B_1,$ $B A_1$ и $C C_1$ равны. Обозначим их градусную меру за $2 альфа .$ Тогда длины дуг

$A C_1=B B_1=C A_1=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа .$

По теореме синусов в треугольнике $A C A_1$ получаем

$дробь: числитель: A A_1, знаменатель: синус A C A_1 конец дроби = дробь: числитель: A C, знаменатель: A A_1 C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби$

откуда $A A_1= дробь: числитель: 12 синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .$ Аналогично $B B_1 = дробь: числитель: 12 синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби$ и $C C_1 = дробь: числитель: 12 синус альфа , знаменатель: синус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .$ Тогда

$A A_1 в квадрате плюс B B_1 в квадрате плюс C C_1 в квадрате = дробь: числитель: 12 в квадрате , знаменатель: синус в квадрате 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 96 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка = 96 левая круглая скобка 3 косинус в квадрате альфа плюс 3 синус в квадрате альфа правая круглая скобка = 288 .$ $A A_1 в квадрате плюс B B_1 в квадрате плюс C C_1 в квадрате = дробь: числитель: 12 в квадрате , знаменатель: синус в квадрате 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 96 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка =$
$= 96 левая круглая скобка 3 косинус в квадрате альфа плюс 3 синус в квадрате альфа правая круглая скобка = 288 .$ $A A_1 в квадрате плюс B B_1 в квадрате плюс C C_1 в квадрате =$
$= дробь: числитель: 12 в квадрате , знаменатель: синус в квадрате 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 96 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате альфа правая круглая скобка =$
$= 96 левая круглая скобка 3 косинус в квадрате альфа плюс 3 синус в квадрате альфа правая круглая скобка = 288 .$

Ответ: 288.

Аналоги к заданию № 693: 701 Все

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь