Сфера касается 99 рёбер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли тогда она касается и
(М. Евдокимов)
Мы покажем даже, что это неверно ни в одном из двух случаев: (а) сотое ребро — ребро основания, и (б) сотое ребро — боковое.
a) Возьмём правильный 51-угольник 
с центром 
Пусть 
и 
это вписанная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая пересекает плоскость 
угольника по окружности 
и рассмотрим конус с основанием 
в который вписана эта сфера. Пусть 
все боковые рёбра и 49 рёбер основания касаются сферы S, а ребро 
—
б) Построим многоугольник, сферу и конус так же, как в пункте (а). Пусть теперь прямые 
и 
пересекаются в точке B. Тогда пирамида 
—
Ответ: нет.