Пусть M  — се­ре­ди­на BC, а Y и Z  — точки, сим­мет­рич­ные X от­но­си­тель­но пря­мой BC и точки M, со­от­вет­ствен­но. Тогда

от­ку­да точки B, C, Y и Z лежат на одной окруж­но­сти c цен­тром O и ра­ди­у­сом R. При этом, по­сколь­ку и по­лу­ча­ем

то есть X  — се­ре­ди­на

Пусть T  — се­ре­ди­на YZ. Тогда OTYX  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му Из сим­мет­рии от­но­си­тель­но BC по­лу­ча­ем, что

Зна­чит, T  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BXC, то есть, по лемме о тре­зуб­це, се­ре­ди­на дуги BC окруж­но­сти

Пусть   — диа­метр окруж­но­сти а P и S  — се­ре­ди­ны KM и со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим, что

Зна­чит, TX пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки и в их се­ре­ди­нах P и S, а также Тогда

(по­след­нее ра­вен­ство вы­пол­не­но в силу сим­мет­рии от­рез­ков и TS от­но­си­тель­но пер­пен­ди­ку­ля­ра к BC в точке P). Зна­чит, TBSC  — впи­сан­ный четырёхуголь­ник, как и По­сколь­ку и S лежат на от­сю­да сле­ду­ет

За­ме­ча­ние. На по­след­нем шаге можно дей­ство­вать и по-дру­го­му. Пусть а S  — се­ре­ди­на Пусть и   — точки, сим­мет­рич­ные K от­но­си­тель­но M и X со­от­вет­ствен­но. Тогда в тре­уголь­ни­ке точка   — точка ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти с а   — точка впи­сан­ной окруж­но­сти, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ная K. При го­мо­те­тии с цен­тром пе­ре­во­дя­щей внев­пи­сан­ную во впи­сан­ную, эти точки пе­ре­хо­дят друг в друга  — зна­чит, лежит на Оста­лось за­ме­тить, что про­хо­дит через S, по­сколь­ку

так что