Имеется натуральное 1001-значное число A. Где 1001-значное число Z — то же число A, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что A > Z. При каком A частное 
будет наименьшим (но строго больше 1)?
I способ. Пусть 
Поскольку 
среди цифр 
есть хотя бы одна недевятка. Значит,
Покажем, что 
Отсюда будет следовать, что
эта оценка достигается при 
что и даёт ответ. Имеем
где 
и 
при 
Заметим, что 
Пусть j — наибольший индекс, при котором 
Тогда
что и требовалось.
II способ. Ясно, что можно минимизировать (положительное) число
Пронумеруем цифры в A слева направо 
Пусть k — наименьший номер, для которого 
(тогда 
и 
ибо 
Рассмотрим произвольный оптимальный пример. Заменим первые и последние 
цифр на девятки. 
не изменится, Z не уменьшится, то есть наша дробь не увеличится. По этой же причине 
можно заменить на 9. Заменим 
на 9, а 
на 8. При этом не увеличится, а Z не уменьшится.
Заменим все цифры 
на нули, а 
на девятки. Тогда не увеличится, а Z если и уменьшится, то на меньшую величину (это произойдёт только тогда, когда вторая половина и так была девятками!). Поскольку в оптимальном примере 
(в первом просто меньше цифр), то, ясно, 
не возрастёт. Итак, можно считать, что A имеет вид
В этом случае
Это выражение достигает минимума при 
и при этом же k достигается максимум значения рассматриваемых Z. Значит, это и есть ответ.
Ответ: при A, запись которого (слева направо) такая: 501 девятка, восьмёрка, 499 девяток.