Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
Возьмём в горизонтальной плоскости 
правильный треугольник с высотой 2. Пусть J — центр одной из его вневписанных окружностей, а A, B, C — середины его сторон.
Выберем такие сферы: три с центрами в A, B, C радиуса 1; две радиуса 2 с центрами в точках 
и 
получающихся из J поднятием и опусканием относительно на 1.
Теперь осталось провести требуемые плоскости. Плоскость через 
параллельная 
касается четырёх остальных сфер; 
и содержит сторону треугольника, на которой лежит A. Все проверки достаточно просты.
Ответ: да, можно.
Приведем другое решение.
Центр сферы 
поместим в точке 
с координатами 
возьмем радиуса 1, а центры этих сфер поместим в точки 
(a выберем позже).
Плоскость Оху проходит через и касается сфер 
Можно подобрать a так, чтобы плоскость 
находилась на расстоянии 
от точки 
тогда плоскость 
проходящая через 
и параллельная плоскости 
будет касаться сфер 
Действительно, уравнение плоскости
Тогда 
и достаточно положить 
Положим r равным расстоянию от A0 до плоскости 
так, чтобы плоскость касалась также и сферы S0.
Конструкция переводится в себя при симметрии относительно плоскостей Oxz, Oyz, а также при композиции поворота на 
вокруг оси Oz и симметрии относительно плоскости Оху. Поэтому условие задачи выполняется также для центров 