Дадим кон­струк­цию отоб­ра­же­ния, каж­до­му раз­би­е­нию доски на до­ми­нош­ки со­по­став­ля­ю­ще­го раз­би­е­ние доски на три­ми­нош­ки.

Пред­по­ло­жим, что за­да­но не­ко­то­рое раз­би­е­ние доски на до­ми­нош­ки. Про­ну­ме­ру­ем все вер­ти­ка­ли чис­ла­ми от 1 до и все го­ри­зон­та­ли чис­ла­ми от 1 до Сде­ла­ет n го­ри­зон­таль­ных раз­ре­зов через го­ри­зон­та­ли с чет­ным но­ме­ром и n вер­ти­каль­ных раз­ре­зов через вер­ти­ка­ли с чет­ным но­ме­ром. По­лу­чит­ся доска (прав­да, раз­би­тая на не­рав­ные клет­ки, но ни­че­го страш­но­го), далее её будем на­зы­вать новой до­с­кой. Каж­дая от­дель­ная клет­ка ста­рой доски стала либо одной, либо двумя, либо че­тырь­мя клет­ка­ми новой (если со­от­вет­ствен­но нуль, одна или обе ко­ор­ди­на­ты ста­рой клет­ки были чет­ны­ми чис­ла­ми). До­ми­нош­ки после этой опе­ра­ции ста­но­вят­ся либо три­ми­нош­ка­ми, либо пря­мо­уголь­ни­ка­ми Так вот, раз­ре­жем каж­дый из этих пря­мо­уголь­ни­ков на две три­ми­нош­ки. По­лу­чим, на­ко­нец, не­ко­то­рое раз­би­е­ние доски на три­ми­нош­ки.

До­ка­жем, что при этом из раз­ных раз­би­е­ний на до­ми­нош­ки по­лу­ча­ют­ся раз­ные раз­би­е­ния на три­ми­нош­ки. Пред­по­ло­жим про­тив­ное: пусть два раз­лич­ных раз­ре­за­ния на до­ми­нош­ки доски при по­стро­ен­ном отоб­ра­же­нии ста­но­вят­ся одним раз­ре­за­ни­ем на три­ми­нош­ки доски По­сколь­ку раз­ре­за­ния на до­ми­нош­ки раз­лич­ны, су­ще­ству­ет клет­ка A доски на­кры­тая в этих раз­ре­за­ни­ях до­ми­нош­ка­ми по-раз­но­му. Но тогда после нашей опе­ра­ции то, во что пре­вра­тит­ся клет­ка A, т. е. 1, 2, или 4 кле­точ­ки, будет на­кры­то три­ми­нош­ка­ми по-раз­но­му. Зна­чит, и раз­ре­за­ния на три­ми­нош­ки раз­ные, что про­ти­во­ре­чит пред­по­ло­же­нию.

Тем самым, мы до­ка­за­ли, что раз­ре­за­ний на три­ми­нош­ки не мень­ше, чем раз­ре­за­ний на до­ми­нош­ки. Оста­лось предъ­явить хотя бы одно раз­ре­за­ние на три­ми­нош­ки, ко­то­рое не по­лу­ча­ет­ся из раз­ре­за­ния на до­ми­нош­ки. Про­верь­те, что по­дой­дет любое раз­би­е­ние на три­ми­нош­ки, в ко­то­ром к пра­во­му ниж­не­му углу, (т. е. об­ра­зо­ван­но­му по­след­ни­ми стро­кой и столб­цом), при­мы­ка­ет го­ри­зон­таль­ная три­ми­нош­ка, а на ней стоят три вер­ти­каль­ные (при­мер см. на ри­сун­ке спра­ва).

Ответ: боль­ше число раз­би­е­ний на три­ми­нош­ки.