сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Даны три окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3, 5 и 7, по­пар­но ка­са­ю­щи­е­ся друг друга в точ­ках A, B и C. Най­ди­те сумму рас­сто­я­ний от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC до его сто­рон.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: у пер­вой окруж­но­сти: центр точка O_1, ра­ди­ус равен a ; у вто­рой окруж­но­сти: центр  — точка O_2 ра­ди­ус равен b; у тре­тьей окруж­но­сти: центр  — точка O_3, ра­ди­ус равен c. Так как точки A, B, C яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния двух окруж­но­стей из трех, то эти точки лежат на от­рез­ках O_1 O_2, O_1 O_3,  O_2 O_3. Не теряя общ­но­сти, можно счи­тать, что точка A лежит на от­рез­ке  O_2 O_3, точка B  — на  O_1 O_3, точка C  — на  O_1 O_2. Центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC обо­зна­чим за O.

Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка  O_1 O_2 O_3 равны 8, 10 и 12. Точки A, B и C делят сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка  O_1 O_2 O_3 так же, как долж­ны де­лить точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти, зна­чит, это они и есть. Таким об­ра­зом, опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC  — это впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка  O_1 O_2 O_3. По­счи­та­ем её ра­ди­ус, по­де­лив пло­щадь тре­уголь­ни­ка  O_1 O_2 O_3, вы­чис­лен­ную по фор муле Ге­ро­на, на её по­лу­пе­ри­метр:

r= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 умно­жить на 3 умно­жить на 5 умно­жить на 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ни­ки O_1 B C и OBC рав­но­бед­рен­ные с ос­но­ва­ни­ем BC, точки O и O_1 лежат не се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к ВС. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем

O O_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B O в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс B O_1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 конец ар­гу­мен­та =4.

Обо­зна­чим се­ре­ди­ну BC за M_1. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O B O_1 эта точка  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из пря­мо­го угла, от­ку­да

O_1 M_1= дробь: чис­ли­тель: B O_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: O O_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

со­от­вет­ствен­но,

O M_1=O O_1 минус O_1 M_1=4 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ана­ло­гич­но на­хо­дим

O O_2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , а O M_2= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

O O_3= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 54 конец ар­гу­мен­та , а O M_2= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 54 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та конец дроби .


Аналоги к заданию № 696: 704 Все