Даны три окружности радиусов 3, 5 и 7, попарно касающиеся друг друга в точках A, B и C. Найдите сумму расстояний от центра описанной окружности треугольника ABC до его сторон.
Введём следующие обозначения: у первой окружности: центр точка радиус равен у второй окружности: центр — точка радиус равен b; у третьей окружности: центр — точка радиус равен c. Так как точки A, B, C являются точками касания двух окружностей из трех, то эти точки лежат на отрезках Не теряя общности, можно считать, что точка A лежит на отрезке точка B — на точка C — на Центр описанной окружности треугольника ABC обозначим за O.
Стороны треугольника
Треугольники и OBC равнобедренные с основанием BC, точки O и лежат не серединном перпендикуляре к ВС. Тогда по теореме Пифагора получаем
Обозначим середину BC за В прямоугольном треугольнике эта точка — основание высоты, опущенной из прямого угла, откуда
соответственно,
Аналогично находим
а
а
Ответ: