От­ме­тим на пла­не­те по­лю­сы N и S, и пусть точки A, B, C и D делят со­от­вет­ству­ю­щий эк­ва­тор на че­ты­ре рав­ных дуги, как на ри­сун­ке 1.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рас­смот­рим за­мкну­тый путь

по по­верх­но­сти, со­сто­я­щий из дуг боль­ших окруж­но­стей с цен­тра­ми в цен­тре пла­не­ты. Этот путь со­сто­ит из 6 оди­на­ко­вых дуг дли­ной в эк­ва­то­ра, по­это­му длина пути со­став­ля­ет 600 км.

По­ка­жем, что лу­но­ход по­бы­вал на рас­сто­я­нии не более 50 км от каж­дой точки. По­верх­ность пла­не­ты разобьём на 8 оди­на­ко­вых сфе­ри­че­ских тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках. Лу­но­ход по­бы­вал во всех вер­ши­нах и во всех точ­ках хотя бы одной сто­ро­ны каж­до­го тре­уголь­ни­ка. Так как рас­сто­я­ние по по­верх­но­сти от по­лю­са до эк­ва­то­ра 100 км, то по­верх­ность пла­не­ты раз­би­ва­ет­ся на эк­ва­то­ри­аль­ный пояс  — точки, удалённые от эк­ва­то­ра на рас­сто­я­ние не более 50 км,  — и две по­ляр­ные шапки  — точки, удалённые от по­лю­сов на рас­сто­я­ние не более 50 км. На ри­сун­ке 2 зелёная часть тре­уголь­ни­ка ис­сле­до­ва­на лу­но­хо­дом, так как он про­ехал вдоль сто­ро­ны, а крас­ная ис­сле­до­ва­на, так как он по­бы­вал в вер­ши­не.

За­ме­ча­ние. До­ка­жем более силь­ное утвер­жде­ние: лу­но­ход может пол­но­стью ис­сле­до­вать пла­не­ту, пре­одо­лев не более 570 км.

Снова разобьём по­верх­ность пла­не­ты на 8 рав­ных тре­уголь­ни­ков. Сред­ней па­рал­ле­лью тре­уголь­ни­ка назовём часть линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не тре­уголь­ни­ка и со­еди­ня­ю­щей се­ре­ди­ны двух дру­гих сто­рон. На ри­сун­ке 2 сред­няя па­рал­лель тре­уголь­ни­ка лежит на гра­ни­це крас­ной и зелёной об­ла­стей. Пусть лу­но­ход прошёл по сред­ним па­рал­ле­лям всех тре­уголь­ни­ков, как на ри­сун­ке 3. Вся по­верх­ность пла­не­ты будет ис­сле­до­ва­на, по­то­му что любая точка тре­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии не более 50 км от не­ко­то­рой точки сред­ней па­рал­ле­ли, что видно из ри­сун­ка

Рис. 3.

Рис. 4.

На­ко­нец, до­ка­жем, что длина окруж­но­сти, на ко­то­рой лежит сред­няя па­рал­лель, в раз мень­ше длины эк­ва­то­ра. Из этого будет сле­до­вать, что длина пути равна что при­мер­но равно 566.

Пусть N и E  — вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, O  — центр пла­не­ты. Ра­ди­ус окруж­но­сти, на ко­то­рой лежит сред­няя па­рал­лель, равен рас­сто­я­нию r от се­ре­ди­ны M дуги NE до пря­мой ON. Из ри­сун­ка 4 видно, что Зна­чит, ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти в мень­ше ра­ди­у­са пла­не­ты, что и тре­бо­ва­лось.

Ин­те­рес­но было бы узнать, ка­ко­ва наи­мень­шая воз­мож­ная длина та­ко­го пути. Можно до­ка­зать (прав­да, не со­всем эле­мен­тар­но), что она за­ве­до­мо боль­ше 500.

Ответ: да.