По­сколь­ку вы­ра­же­ние

равно сумме рас­сто­я­ний от точки до точек с ко­ор­ди­на­та­ми и а гео­мет­ри­че­ское место ре­ше­ний урав­не­ния на плос­ко­сти есть ромб

с вер­ши­на­ми и то за­да­ча рав­но­силь­на по­ис­ку ми­ни­му­ма суммы рас­сто­я­ний от точки, ле­жа­щей на ука­зан­ном ромбе, до точек с ко­ор­ди­на­та­ми (см. левый рис.).

До­ка­жем, что ми­ни­мум этой суммы до­сти­га­ет­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не ромба и рав­но­удалённой от точек и Пусть точка G лежит на пря­мой l, па­рал­лель­ной EF и удалённой от пря­мой EF на рас­сто­я­ние h (см. пра­вый рис.). Пусть также точка H на пря­мой l та­ко­ва, что а точка сим­мет­рич­на точке F от­но­си­тель­но пря­мой l. Тогда полу чаем

причём не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство лишь при сов­па­де­нии точек G и H.

В нашем слу­чае сто­ро­на ромба AB па­рал­лель­на EF, а точка H пря­мой AB, для ко­то­рой лежит на сто­ро­не ромба. Сумм а рас­сто­я­ний от любой дру­гой точки ромба до точек E и F пре­вос­хо­дит Остаётся найти EF и рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и При­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от на­ча­ла ко­ор­ди­нат до пря­мой (на­при­мер, это сле­ду­ет из по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков), по­это­му

Таким об­ра­зом,

Ответ:

За­ме­ча­ния.

1)  Обос­но­ва­ние того, что ми­ни­мум суммы ре­а­ли­зу­ет­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не ромба и рав­но­удалённой от точек и можно про­ве­сти, ис­поль­зуя вы­пук­лость функ­ции а имен­но, не­ра­вен­ство

2)  Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и можно найти сразу по фор­му­ле

либо по фор­му­ле рас­сто­я­ния от точки до пря­мой.

3)  Точка H имеет ко­ор­ди­на­ты