РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7157 Добавить в вариант

Какие значения может принимать выражение $x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате ,$ где x₁ и x₂  — несовпадающие между собой корни уравнения $x в кубе минус 2015 x плюс 2016=0 ?$

Спрятать решение

Решение.

I способ. Так как $x_1 в кубе минус 2015 x_1 плюс 2016=0$ и $x_2 в кубе минус 2015 x_2 плюс 2016=0,$ то

$x_1 в кубе минус x_2 в кубе =2015 умножить на левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка .$

Значит, $x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате =2015.$

II способ. По теореме Виета (но тогда нужно обосновать наличие трех разных корней): $x_1 плюс x_2 плюс x_3=0$ и $x_1 x_2 x_3= минус 2016.$ Поэтому

$x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2= левая круглая скобка минус x_3 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 2016, знаменатель: x_3 конец дроби = дробь: числитель: x_3 в кубе плюс 2016, знаменатель: x_3 конец дроби = дробь: числитель: 2015 x_3, знаменатель: x_3 конец дроби =2015 .$ $x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=$
$= левая круглая скобка минус x_3 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 2016, знаменатель: x_3 конец дроби = дробь: числитель: x_3 в кубе плюс 2016, знаменатель: x_3 конец дроби = дробь: числитель: 2015 x_3, знаменатель: x_3 конец дроби =2015 .$ $x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=$
$= левая круглая скобка минус x_3 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 2016, знаменатель: x_3 конец дроби =$
$= дробь: числитель: x_3 в кубе плюс 2016, знаменатель: x_3 конец дроби = дробь: числитель: 2015 x_3, знаменатель: x_3 конец дроби =2015 .$

Ответ: 2015.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: числа. Формулы сокращённого умножения

Спрятать решение · Помощь