Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: у пер­вой окруж­но­сти: центр  — точка ра­ди­ус равен a; у вто­рой окруж­но­сти: центр  — точка ра­ди­ус равен b; у тре­тьей окруж­но­сти: центр  — точка ра­ди­ус равен c. Так как точки A, B, C яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния двух окруж­но­стей из трех, то эти точки лежат на от­рез­ках Не теряя общ­но­сти, можно счи­тать, что точка A лежит на от­рез­ке точка B  — на точка C  — на Tor да по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка Тогда

Ана­ло­гич­но, для двух дру­гих углов:

Обо­зна­чим за d сле­ду­ю­щее вы­ра­же­ние:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка

Ана­ло­гич­но по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков и и Тогда по фор­му­ле Ге­ро­на, где S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Toгда

Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти можно вы­чис­лить по сле­ду­ю­щей фор­му­ле, где r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти ABC, p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC:

Под­ста­вим зна­че­ния ра­ди­у­сов окруж­но­стей из усло­вия и по­лу­чим, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС сле­ду­ю­щий:

Ответ: