РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7188 Добавить в вариант

В правильной четырехугольной пирамиде противоположные боковые грани перпендикулярны. Высота пирамиды равна h. Найти радиус шара, касающегося ребер основания и боковых ребер пирамиды или их продолжений.

Спрятать решение

Решение.

Обозначения: $S O=h,$ $O M=a,$ где N, M  — середины сторон основания,

$\mathrmR M S N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow h=a,$ $\quad A B=2 a=2 h,$

где Q  — центр искомого шара; OK  — перпендикуляр к ребру S B; QE  — параллельно OK; $O Q=x;$

$O A=h корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =S M,$ $\quad S B=h корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $\quad \mathrmR SBO= альфа =\mathrmR S O K ;$ $\quad \mathrmR AKO=\varphi.$

Из площади треугольника SAB:

$2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента h в квадрате =A K умножить на h корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента \Rightarrow A K= дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби h,$ $\quad синус \varphi= дробь: числитель: O A, знаменатель: A K конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow \varphi=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из прямоугольного треугольника $S O K$ :

$O K в квадрате = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби h в квадрате минус 2 h в квадрате = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби h в квадрате \Rightarrow косинус альфа = дробь: числитель: O K, знаменатель: O S конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Где $Q S=h плюс x,$ $Q E=Q M=R$   — радиус искомого шара, $\mathrmR SQE= альфа$ уравнение для R:

$левая круглая скобка h плюс x правая круглая скобка косинус альфа = корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс x в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка h плюс x правая круглая скобка в квадрате =h в квадрате плюс x в квадрате \Rightarrow x в квадрате минус 4 h x плюс h в квадрате =0 \Rightarrow x=h левая круглая скобка 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка h плюс x правая круглая скобка косинус альфа = корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс x в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка h плюс x правая круглая скобка в квадрате =h в квадрате плюс x в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow x в квадрате минус 4 h x плюс h в квадрате =0 \Rightarrow x=h левая круглая скобка 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$

Тогда

$R в квадрате =x в квадрате плюс h в квадрате =4 x h=4 h в квадрате левая круглая скобка 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка \Rightarrow R_1,2=2 h корень из: начало аргумента: 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента$

касание ребер или их продолжений.

Ответ: $R_1, 2=2 h корень из: начало аргумента: 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Помощь