РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7194 Добавить в вариант

Для каждого допустимого a найти наименьшее решение уравнения $2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка в квадрате x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x в кубе минус 3= логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка a в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразование: $a больше 0,$ $a не равно q 1,$ $x больше 0,$

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка в квадрате x плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x минус 3= дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x конец дроби \Rightarrow 2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка в кубе x плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка в квадрате x минус 3 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x минус 2=0.$

Замена $t= логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка x$ приводит к кубическому уравнению

$2 t в кубе плюс 3 t в квадрате минус 3 t минус 2=0,$

имеющему три корня $t_1=1,$ $t_2= минус 2,$ $t_3= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Им соответствуют три решения: $x_1=a,$ $x_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби ,$ $x_3= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби$ На интервале $a принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ справедливо неравенства $a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби$ выполнено неравенство

$дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби меньше a \Rightarrow x_\min левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби .$

Ответ: $x_\min левая круглая скобка a правая круглая скобка = система выражений a, a принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка , дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби , a принадлежит левая круглая скобка 1 ; плюс бесконечность правая круглая скобка . конец системы .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Логарифмы, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь