Плоскости P и Q, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды SABCD, пересекают ребро SA пирамиды в точках M и N. Длины отрезков SM, SN и SA являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии с знаменателем 
Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований P и Q можно вписать шар.
В пирамиде проведено осевое сечение, перпендикулярное стороне основания.
По условию 
и 
Тогда 
с коэффициентом подобия q и 
с коэффициентом подобия 
По условию, в усеченную пирамиду можно вписать шар, а значит, в трапецию mnрk можно вписать окружность. Так как образом при преобразовании подобия с центром в точке S и коэффициентом подобия q отрезка mp является отрезок nk, а отрезок 
переходит в отрезок EF, то окружность радиуса r с центром в точке w переходит в окружность радиуса 
с центром в точке O, вписанную в трапецию EnkF. Аналогично, окружность с центром в точке w является образом окружности радиуса ρ, вписанной в треугольник Smp. Из подобия треугольников OTS и FzS имеем
где 
Если 
то
По условию,
Ответ: 