Три конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом, причем первые два из них одинаковы, а у третьего угол при вершине равен 
Каждый из конусов касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у первых двух конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть 2α — искомый угол, 
и 
Впишем в первые три конуса пары с центрами O1, O2, O3, касающиеся друг друга. Касательные, проведенные из А ко всем шарам, имеют одинаковую длину, поскольку любая пара шаров имеет общую касательную. Пусть четвертый конус касается этих шаров в точках B, C, D. Тогда 
и, значит, эти точки лежат на некотором шаре с центром О, вписанном в четвертый конус. Этот шар касается остальных шаров, так как, например, шары с центрами в O и O1 касаются точке B плоскости, содержащей образующую AB и касающейся четвертого конуса. Поэтому точки O1, O2, O3 лежат на от резках OB, OC, OD соответственно, причем 
Пусть H как медианы равнобедренных треугольников O1O2A, O1O2O и O1O2O3. Поэтому точки A, O3, O3 лежат в плоскости, проходящей через точку H перпендикулярно O1H. В частности, отрезки AO и AO3 перпендикулярны отрезку O1H. Значит, точки H и O1 имеют одинаковые проекции как на прямую АО, так и на прямую А3 (обозначим эти проекции через E и F соответственно). Отсюда
Заметим, что 
как касательные к шару с центром в O1. Поэтому
Исключая из системы 
мы получим
откуда
Тогда 
и из второго уравнения системы 
Ответ: 