РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7270 Добавить в вариант

Найти натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что число a с разложением на простые делители вида

$a=p_1 в степени левая круглая скобка s_1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка s_2 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_k в степени левая круглая скобка s_k правая круглая скобка$

имеет

$левая круглая скобка s_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка s_2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка s_k плюс 1 правая круглая скобка$

различных делителей. Если a делится на 225, то

$a=3 в степени левая круглая скобка s_1 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка s_2 правая круглая скобка умножить на b,$

причем $s_1 больше или равно 2$ и $s_2 больше или равно 2.$ Если $b больше 1,$ то оно имеет по крайней мере один простой делитель p: $p не равно q 3$ и $p не равно q 5.$ Тогда общее число различных делителей числа a не меньше

$левая круглая скобка s_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка s_2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 больше или равно 3 умножить на 3 умножить на 2=18 больше 15,$

что противоречит условию. Отсюда следует, что $b=1$ и общее число делителей числа a равно

$левая круглая скобка s_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка s_2 плюс 1 правая круглая скобка =15.$

Последнее возможно в двух случаях:

$1 правая круглая скобка s_1=2, s_2=4 \Rightarrow a_1=3 в квадрате умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =5625;$

$2 правая круглая скобка s_1=4, s_2=2 \Rightarrow a_2=3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в квадрате =2025.$

Ответ: 5625, 2025.

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости

Спрятать решение · Помощь